6 终身寿险与两全保险

内容简介

本章主要介绍终身寿险与两全保险的精算现值计算方法，同时介绍如何应用R及其lifecontingencies包计算不同险种的精算现值。

学习目标

掌握精算现值的概念及其基本假定
掌握身故年末给付的终身寿险精算现值计算
熟悉即死即付的终身寿险精算现值计算
熟悉身故期末给付的终身寿险精算现值计算
掌握纯生存保险精算现值计算
熟悉身故期末给付的两全保险精算现值计算
了解即死即付的两全保险精算现值计算
了解传统寿险精算现值的R实现

古人学问无遗力，少壮工夫老始成。

纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。

——（南宋）陆游《冬夜读书示子聿》

6.1 终身寿险

终身寿险可以看做定期寿险的极限情况，即将定期寿险的保险期限延长至终极寿命，因此关于定期寿险精算现值计算中的很多结论可以参照使用。首先给出终身寿险精算现值的精算符号：

\(A_x\)：身故年末给付的终身寿险精算现值
\(\bar A_x\)：即死即付的终身寿险精算现值
\(A_x^{(m)}\)：身故期末给付的终身寿险精算现值

本节同样是从三个给付时间出发，介绍终身寿险的精算现值计算方法。

6.1.1 身故年末给付的终身寿险精算现值\(A_x\)

定义如下参数：

\(x\)：投保年龄
\(K\)：被保险人身故整数年，即被保险人(x)在\(K\sim K+1\)之间身故，其中\(K=0,1,2,\cdots,\omega-1\)
\(b\)：身故保险金（单位1），即\(b=1\)
\(i\)：预定年利率，贴现因子为\(v=\frac{1}{1+i}\)
\(Z\)：保险给付的现值

\[Z=b\times v^{K+1}=v^{K+1}\]

显然，

\[ \begin{aligned} A_x &= E(Z)&\text{(公平保费原则)}\\ &=\sum_{k=0}^{\omega-1} v^{k+1} \cdot {}_{k|}q_x &\text{(按概率分布计算)} \\ &=\frac{d_x\times v}{l_x}+\frac{d_{x+1}\times v^2}{l_x}+\cdots+\frac{d_{\omega}\times v^{\omega+1}}{l_x} &\text{(按生命表计算)} \\ &=\frac{d_x\times v^{x+1}}{l_x\times v^x}+\frac{d_{x+1}\times v^{x+2}}{l_x\times v^x}+\cdots+\frac{d_{\omega}\times v^{x+\omega+1}}{l_x\times v^x} & \text{(上下同乘以} v^x\text{)} \\ &=\frac{M_x}{D_x} & \text{(使用转换函数)} \\ \end{aligned} \tag{6.1} \]

6.1.2 即死即付的终身寿险精算现值\(\bar A_x\)

当被保险人身故时，保险金立即给付。定义如下变量：

\(x\)：投保年龄
\(T\)：被保险人(x)的余命，即被保险人的寿命为\(x+T\)，其中\(T\)为非负连续随机变量，\(G_T (t)\)为分布函数，\(g_T(t)\)为密度函数
\(b\)：身故保险金（单位1），即\(b=1\)
\(i\)：预定年利率，贴现因子为\(v=\frac{1}{1+i}\)
\(Z\)：保险给付现值，\(Z=b\times v^T=v^T\)

因此，

\[ \begin{aligned} \bar A_x &= E(Z) \\ &= \int_0^{\infty} v^t \cdot g_T(t) dt \\ &=\int_0^{\infty} v^t \cdot [{}_t q_x]'dt \\ &=\int_0^{\infty} v^t \cdot [{}_t p_x \cdot \mu_{x+t}] dt \\ \end{aligned} \tag{6.2} \]

不加证明地给出，在UDD假设下，\(A_x\)与\(\bar A_x\)的关系为：

\[ \bar A_x = \frac{i}{\delta}\times A_x \tag{6.3} \]

6.1.3 身故期末给付的终身寿险精算现值\(A_x^{(m)}\)

如果我们把一年分为m份（如4个季度、12个月），当被保险人在某期身故时，保险公司则在身故期末给付。因此，定义如下变量：

\(x\)：投保年龄
\(K+S\)：被保险人(x)在\(K\sim K+1\)之间的第s期身故，其中\(K=0,1,2,\cdots,\omega\)、\(S=1,2,\cdots,m\)
\(b\)：身故保险金（单位1），即\(b=1\)
\(i\)：预定年利率，贴现因子为\(v=\frac{1}{1+i}\)
\(Z\)：保险给付现值，\(Z=b\times v^{K+\frac{S}{m}}\)

为了简便起见，直接给出在UDD假设下\(A_x^{(m)}\)的精算现值计算公式：

\[ A_x^{(m)} = \frac{i}{i^{(m)}}\times A_x \tag{6.4} \]

6.2 两全保险

两全保险是指在被保险人身故时，保险公司给付身故保险金，而在被保险人生存至保险期满时，保险公司给付生存保险金。传统两全保险的身故保险金和生存保险金一般是相等的。因此从保险产品的属性上，两全保险实际上是定期寿险和纯生存保险的叠加。

首先给出两全保险精算现值的精算符号：

\(A_{x:\overline n |}\)：身故年末给付的两全保险精算现值。请注意，\(A\)的右上角不需要出现”1”，这是因为两全保险既包括生存给付又包括身故给付，两者的精算现值符号分别为：
- \(A_{x:\overline n |}^{\quad 1}\)：纯生存保险精算现值
- \(A_{x:\overline n |}^{1}\)：身故年末给付的定期寿险精算现值
\(\bar A_{x:\overline n |}\)：即死即付的终身寿险精算现值

本节同样是从上述两个给付时间出发，介绍两全保险精算现值的计算方法。

6.2.1 纯生存保险精算现值\(A_{x:\overline{n}|}^{\quad 1}\)

纯生存保险（pure endowment）是指在被保险人生存至保险期满时，保险公司给付生存保险金。定义如下变量：

\(x\)：投保年龄
\(n\)：保险期满时的年龄，即被保险人(x)在\(x+n\)时生存
\(b\)：生存保险金（单位1），即\(b=1\)
\(i\)：预定年利率，贴现因子为\(v=\frac{1}{1+i}\)
\(Z\)：保险给付现值，\(Z=b\times v^{n}=v^{n}\)

当纯生存保险期满时，被保险人(x)有两个可能的生存状态：生存或身故，其对应的概率为：

纯生存保险期满时被保险人生命状态	身故(即余命\(T\leq n\))	生存(即余命\(T\geq n\))
生存给付	0	1
生存给付现值	0	\(v^n\)
概率Pr	\({}_n q_x\)	\({}_n p_x\)

因此，生存保险精算现值为：

\[ \begin{aligned} A_{x:\overline{n}|}^{\quad 1} &= E(Z) \\ &= {}_n p_x \cdot v^n + {}_n q_x \cdot 0 &\text{(公平保费原则)}\\ &= {}_n p_x \cdot v^n &\text{(按生命函数计算)}\\ &= \frac{l_{x+n} }{l_x}\cdot v^n &\text{(按生命表计算)}\\ &= \frac{l_{x+n} \cdot v^{x+n}}{l_x \cdot v^x} &\text{(上下同乘以} v^x\text{)}\\ &= \frac{D_{x+n}}{D_x} &\text{(使用转换函数)}\\ \end{aligned} \tag{6.5} \]

由于纯生存保险是生命年金的一种特殊情况，通常也会把纯生存年金精算现值\(A_{x:\overline n |}^{\quad 1}\)记作

\[{}_n E_{x}\]

从经济意义上，我们可以把\({}_n E_{x}\)看作是\(n\)年后的1元，在生存率和利率的双重作用下产生的现值。

6.2.2 身故年末给付的两全保险精算现值\(A_{x:\overline{n}|}\)

根据两全保险的定义，将身故年末给付的两全保险产品参数做如下定义：

\(x\)：投保年龄
\(n\)：保险期限
\(K\)：被保险人(x)取整余命，即(x)在\(K\sim K+1\)之间身故，其中\(K=0,1,2,\cdots,n-1\)
\(b\)：约定保险金（单位1），且身故保险金和生存保险金均为\(b=1\)
\(i\)：预定年利率，贴现因子为\(v=\frac{1}{1+i}\)
\(Z\)：保险给付现值

\[ \begin{aligned} Z=& \begin{cases} v^{K+1} & K=0,1,2,\cdots ,n-1\\ v^{n} & K\geq n\\ \end{cases} \end{aligned} \]

显然

\[ \begin{aligned} A_{x:\overline{n}|} &= E(Z) \\ &= \sum_{k=0}^{n-1} v^{k+1} \cdot {}_{k|}q_x + v^n \cdot {}_n p_x \\ &= A_{x:\overline n |}^{1}+A_{x:\overline n |}^{\quad 1} \end{aligned} \tag{5.2} \]

6.2.3 即死即付的两全保险精算现值\(\bar A_{x:\overline{n}|}\)

结合即死即付的定期寿险精算现值\(\bar A_x\)的计算方法，可以得到两全保险的即死即付精算现值为：

\[ \bar A_{x:\overline{n}|} = \bar A_{x:\overline n |}^{1}+ A_{x:\overline n |}^{\quad 1} \tag{5.3} \]

显然，在UDD假设下

\[ \bar A_{x:\overline{n}|} \approx \frac{i}{\delta}\times A_{x:\overline n |}^{1}+A_{x:\overline n |}^{\quad 1} \tag{5.4} \]

6.3 传统寿险精算现值的R实现

在R中，通过lifecongtingencies等R包可以实现传统寿险精算现值的计算。本节主要基于lifecongtingencies介绍传统寿险精算现值的R实现。

6.3.1 导入生命表

本节以“中国人身保险行业经验生命表（2010-2013）”为例，选取其中“CL1”表作为示例，主要应用probs2lifetable函数生成一个lifetable对象。

library(readxl)                 #加载读取Excel文件的包
cl1 <- read_excel("cl1.xlsx")   #读取Excel文件，注意文件路径
qx<-cl1$qx                      #提取qx列

# 将死亡率qx转换为生命表
library(lifecontingencies)      #加载lifecontingencies包
life_table <- probs2lifetable(probs = qx, 
                              radix = 1000000,
                              type="qx",
                              name="CL1") # 创建生命表
print(life_table)               # 打印生命表

6.3.2 生成精算表

在生成生命表后，可以使用new函数将lifetable生命表对象转换为actuarialtable精算表对象。

actuarial_table <- new("actuarialtable", 
                       x   = life_table@x, 
                       lx  = life_table@lx,
                       name= "CL1act",
                       i   = 0.025)  # 创建精算表
print(actuarial_table)          # 打印精算表

6.3.3 计算生命概率

在lifecontingencies包中，可以使用多个函数来计算基于特定生命表的生命概率。主要函数包括：

dxt：计算死亡人数，主要参数包括：生命表或精算表对象object、年龄x、期限t
qxt：计算死亡概率，主要参数包括：生命表或精算表对象object、年龄x、期限t、非整数年龄死亡率假设fractional
pxt：计算生存概率，主要参数包括：生命表或精算表对象object、年龄x、期限t、非整数年龄死亡率假设fractional

# 计算死亡人数
dxt_value <- dxt(life_table, x = 30, t = 35)

# 计算整数年龄的死亡率和生存率
qxt_int <- qxt(life_table, x = 30, t = 35)
pxt_int <- pxt(life_table, x = 30, t = 35)

# 计算非整数年龄的死亡率，生存率从略
qxt_frac_UDD <- qxt(life_table, x = 30, t = 35.25, fractional = "linear") #UDD假设
qxt_frac_cf  <- qxt(life_table, x = 30, t = 35.25, fractional = "constant force") #死力恒定假设
qxt_frac_Bal <- qxt(life_table, x = 30, t = 35.25, fractional = "Balducci") #巴尔达奇假设

6.3.4 计算寿险精算现值

在lifecontingencies包中，主要用Axn函数计算寿险精算现值，Exn函数计算纯生存保险精算现值。

Axn的主要参数包括：

actuarialtable：精算表对象
x：投保年龄
n：保险期限，如n不赋值则表示为终身寿险
i：预定年利率，默认为actuarialtable中的预定利率
m：延期年数，默认为0
k：一年内分期数，默认为”k=1”

Exn的主要参数包括：

actuarialtable：精算表对象
x：投保年龄
n：保险期限，如n不赋值则表示为终身寿险
i：预定年利率，默认为actuarialtable中的预定利率

首先我们应用Axn计算定期寿险的精算现值。

# 计算身故年末给付的定期寿险精算现值
Axn_year <- Axn(actuarial_table, x = 30, n = 35, i=0.025, m=0, k=1)

# 计算身故期末给付的定期寿险精算现值（令k=4）
(Axn_quarter_udd <- Axn(actuarial_table, 
                        x = 30, 
                        n = 35, 
                        i=0.025, 
                        m=0, 
                        k=4, 
                        fractional="uniform")) #UDD假设

(Axn_quarter_cf  <- Axn(actuarial_table, 
                        x = 30, 
                        n = 35, 
                        i=0.025, 
                        m=0, 
                        k=4, 
                        fractional="constant force"))#死力恒定假设

(Axn_quarter_Bal <- Axn(actuarial_table, 
                        x = 30, 
                        n = 35, 
                        i=0.025, 
                        m=0, 
                        k=4, 
                        fractional="Balducci"))#巴尔达奇假设

# 当k较大时（例如k=12、24、48时），Axn将越来越接近于即死即付的定期寿险精算现值

其次我们应用Axn计算终身寿险的精算现值。

# 计算身故年末给付的终身寿险精算现值
Axn_whole <- Axn(actuarial_table, x = 30, i=0.025, m=0, k=1)

# 计算身故期末给付的终身寿险精算现值（令k=4）
(Axn_whole_quarter_udd <- Axn(actuarial_table, 
                               x = 30, 
                               i=0.025, 
                               m=0, 
                               k=4, 
                               fractional="uniform")) #UDD假设

最后用Exn计算纯生存保险精算现值。

# 计算纯生存保险精算现值
(Exn_year <- Exn(actuarial_table, 
                x = 30, 
                n = 35, 
                i=0.025))

本章小结

终身寿险精算现值
- 身故年末给付的终身寿险精算现值\(A_x =\sum_{k=0}^{\infty}v^{k+1}\cdot {}_{k|}q_x =\frac{M_x}{D_x}\)
- 即死即付的终身寿险精算现值\(\bar A_x \approx \frac{i}{\delta}\times A_x \quad \text{(UDD假设)}\)
- 身故期末给付的终身寿险精算现值\(A_x^{(m)} \approx \frac{i}{i^{(m)}}\times A_x \quad \text{(UDD假设)}\)
两全保险精算现值
- 纯生存保险精算现值\(A_{x:\overline{n}|}^{\quad 1} = {}_n p_x \cdot v^n = \frac{D_{x+n}}{D_x}\)
- 身故年末给付的两全保险精算现值\(A_{x:\overline{n}|} = A_{x:\overline n |}^{1}+A_{x:\overline n |}^{\quad 1}\)

精算学基础：Excel与R实现